Merkmalsträger

Als Merkmalsträger (statistische Einheit, Untersuchungseinheit) \(\omega\) bezeichnet man das Einzelobjekt einer Untersuchung. Die Merkmalsträger müssen durch sogenannte Identifikationskriterien (sachliche, räumliche und zeitliche Kriterien) eindeutig festgelegt sein. Die Menge aller statistischen Einheiten \(\Omega= \{\omega_1, \ldots, \omega_n\}\) bezeichnet man als Grundgesamtheit (statistische Masse).

Beispiele Markmalsträger:

1. die Menge aller zum 01.01.2011 in Landau gemeldeten Personen
2. die Menge aller Tage im Jahr 2012
3. die Menge zur heutigen Vorlesung anwesenden Personen
4. die Menge aller Muttertiere einer Aufzuchtstation
5. die Menge aller Teilnehmer einer Klausur

(Eindimensionales) Merkmal

Ein (eindimensionales) Merkmal \(X\) ordnet jeder statistischen Einheit \(\omega \in \Omega\) den Beobachtungswert (oder Merkmalswert, Merkmalsausprägung) \(X(\omega)\) zu. Die Menge \(A\) aller möglichen Beobachtungswerte heißt Merkmalsraum. Somit ist \(X: \Omega \to A\) eine Abbildung.

Beispiele Merkmalsraum:

1. das Alter einer Daphnie in Tagen (\(A=]0, \infty[\) bzw. \(A=\mathbb N_0\))
2. die Tageshöchsttemperatur an einem bestimmten Ort in Grad Celcius (\(A= [-273.2, \infty[\))
3. das Geschlecht der Person (\(A=\{ m, w\}\))
4. die Anzahl der Jungen des Muttertieres in einem bestimmten Jahr (\(A=\mathbb N_0\))
5. die Note des Teilnehmers (\(A= \{ 1.0,1.3,\ldots , 3.7,4.0,5.0 \}\))

Kurzschreibweise

Ist \(\Omega= \{ \omega_1, \ldots , \omega_n\}\), so schreiben wir auch kurz \(x_i= X(\Omega_i)\) für \(i=1, \ldots ,n\).

Skalen I

Vergleiche der Merkmalsausprägungen sind nach verschiedenen Skalenniveaus möglich:

• Nominalskala: Mögliche Ausprägungen sind unterscheidbar, können aber nicht in eine natürliche Rangfolge gebracht werden.
• Ordinalskala: Mögliche Ausprägungen können in eine natürliche Rangfolge gebracht werden, Unterschiede zwischen den Rängen sind aber nicht vergleichbar.
• Intervallskala: Mögliche Ausprägungen sind Zahlen und können in eine natürliche Rangfolge gebracht werden. Gleiche Differenzen zwischen zwei Merkmalen haben gleiche inhaltliche Bedeutungen. Es existiert kein natürlicher Nullpunkt (es können aber welche konventionell festgelegt werden).

Skalen II

• Verhältnisskala: Mögliche Ausprägungen sind Zahlen und können in eine natürliche Rangfolge gebracht werden. Gleiche Differenzen zwischen zwei Merkmalen haben gleiche inhaltliche Bedeutungen. Es existiert ein natürlicher Nullpunkt aber keine natürliche Einheit.
• Absolutskala: Mögliche Ausprägungen sind Zahlen und können in eine natürliche Rangfolge gebracht werden. Gleiche Differenzen zwischen zwei Merkmalen haben gleiche inhaltliche Bedeutungen. Es existiert ein natürlicher Nullpunkt und eine natüliche Einheit.

Man unterscheidet: Qualitative Merkmale sind nominal oder ordinal skaliert. Quantitative Merkmale sind mindestens intervallskaliert.

Aufgabe Skalen

Geben Sie zu jeder der angegebenen Skalen je drei Beispiele (ausgenommen der Beispiele aus der VL) an:

• Nominalskala
• Ordinalskala
• Intervallskala
• Verhältnisskala